BAB XIV

                      BAB XIV

Konsep dan Notasi Dasar

Berupa kalimat deklaratif yang bernilai benar (T atau true) atau salah (F atau false), tetapi tidak keduanya.

Contohnya:

-       10 adalah bilangan genap.

-       10 x 2 = 20.

-       Hari ini adalah hari Rabu.

-       x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan riil.

Misalnya p dan q adalah proposisi.

p	q	p ∧ q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

        Konjungsi (conjunction): p dan q. Notasinya: p ∧ q. Contohnya:

p : Hari ini hujan

q : Murid-murid diliburkan dari sekolah

p∧q: Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah

p	q	p ∨ q
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

         Disjungsi (disjunction): p atau q. Notasinya: p ∨ q

Contonya:

p : Ibu memasak ikan.

q : Ibu pergi ke pasar.

p∨q: Ibu memasak ikan atau pergi ke pasar.

P	~q
T	F
F	T

        Ingkaran (negation): ~p atau tidak p. Notasi: ~p.

p : Adik pergi ke pantai.

~p: Adik tidak pergi ke pantai

Contoh gabungan:

p : Pemuda itu pintar

q : Pemuda itu tampan

Maka:                

a.       p ∧ q             :  Pemuda itu pintar dan tampan

b.      p ∧ ~q           :  Pemuda itu pintar tapi tidak tampan

c.       ~p ∧ ~q         :  Pemuda itu tidak pintar maupun tampan

d.      ~(~p∨~q)      :  Tidak benar bahwa pemuda itu bodoh atau tidak tampan

e.       p ∨ ( ~p ∧ q )   :     Pemuda itu pintar atau bodoh, dan tampan

f.       ~( ~p ∧ ~q ) :  Tidak benar bahwa pemuda itu bodoh maupun tampan

Ekivalen Logika

Dua proposisi majemuk, jika nilai kebenaran dari kedua pernyataan tersebut sama. Lambang untuk ekuivalen adalah “ ≡ ”. Contohnya perhatikan tabel kebenaran dari proposisi (p ⇔ q) dan (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p):

p	⇔	q
T	T	T
T	F	F
F	F	T
F	T	F

p	⇒	q	∧	q	⇒	p
T	T	T	T	T	T	T
T	F	F	F	F	T	T
F	T	T	F	T	F	F
F	T	F	T	F	T	F

 Karena nilai kebenaran dari kedua proposisi diatas sama, maka

(p ⇔ q) ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p).

Aljabar Proposisi

1.      Hukum identitas: -       p ∨ F ⇔ p -       p ∧ T ⇔ p	6.    Hukum penyerapan (absorpsi): -       p ∨ (p ∧ q) ⇔ p -       p ∧ (p Ú q) ⇔ p
2.      Hukum null atau dominasi: -       p ∧ F ⇔ F -       p ∨ T ⇔ T	7.    Hukum komutatif: -       p ∨ q ⇔  q ∨ p -       p ∧ q ⇔ q ∧ p
3.      Hukum negasi: -       p ∨ ~p ⇔ T -       p ∧ ~p ⇔ F	8.    Hukum asosiatif: -       p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r -       p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r
4.      Hukum idempotent: -       p ∨ p ⇔ p -       p ∧ p ⇔ p	9.    Hukum distributif: -       p ∨ (q ∧ r) ⇔  (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) -       p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
5.     Hukum Involusi (negasi ganda): - ~(~p) ⇔ p	10.  Hukum De Morgan: -       ~(p ∧ q) ⇔ ~p ∨ ~q -        ~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q

Sumber:

http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/KHUSNUL_NOVIANIGSIH/Tautologi.pdf

http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CCgQFjAA&url=http%3A%2F%2Fdina_indarti.staff.gunadarma.ac.id%2FDownloads%2Ffiles%2F29175%2FProposisi.pdf&ei=o6thU_LQLM-PuATz0IKIDg&usg=AFQjCNHIupHhspGWXF8Ts53UJO0LprpGRA&sig2=oSiEKMPpN8F3y81oei3EAA&bvm=bv.65788261,d.c2E

PROPOSISI, KOMBINASI, HUKUM PROPOSISI, DAN TABEL KEBENARAN

1. Pernyataan (Proposisi)

Di dalam matematika, tidak semua kalimat berhubungan dengan logika. Hanya kalimat yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Kalimat tersebut dinamakan proposisi (preposition).

Sebuah proposisi(proposition) atau statement ialah sebuah kalimat deklaratif yang memiliki tepat satu nilai kebenaran, yaitu: ”Benar”(B) atau ”Salah”(S).

Kalimat tanya atau kalimat perintah tidak dianggap sebagai pernyataan.

Berikut ini adalah beberapa contoh proposisi :

a. 1 + 2 = 3

b. Presiden RI tahun 2005 adalah SBY

c. 6 adalah bilangan prima

d. Warna bendera RI adalah biru dan merah

Kalimat-kalimat di atas adalah kalimat proposisi karena dapat diketahui benar/salahnya. Kalimat (a) dan (b) bernilai benar, sedangkan kalimat (c) dan (d) bernilai salah.

Kalimat-kalimat berikut bukan pernyataan :

1. x + 2 = 10.

2. Minumlah sirup ini dua kali sehari.

3. Alangkah cantiknya gadis itu!

2. Mengkombinasikan Proposisi

Kita dapat membentuk proposisi baru dengan cara mengkombinasikan satu atau lebih proposisi. Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebut operator logika. Operator logika dasar yang digunakan adalah dan (and), atau (or), dan tidak (not). Dua operator pertama dinamakan operator biner karena operator tersebut mengoperasikan dua buah proposisi, sedangkan operator ketiga dinamakan operator uner karena ia hanya membutuhkan satu buah proposisi.

Proposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian tersebut dinamakan proposisi majemuk (compound proposition). Proposisi yang bukan merupakan kombinasi proposisi lain disebut proposisi atomik. Dengan kata lain, proposisi majemuk disusun dari proposisi-proposisi atomik. Metode pengkombinasian proposisi dibahas oleh matematikawan Inggris yang bernama George Boole pada tahun 1854 di dalam bukunya yang terkenal, The Laws of  Thought. Proposisi majemuk ada tiga macam, yaitu konjungsi, disjungsi, dan ingkaran.

Misalkan p dan q adalah proposisi.

Negasi:

Untuk sembarang proposisi, p, yang memiliki nilai kebenaran, B/S, maka negasinya ditulis sebagai, ~p, memiliki nilai kebenaran lawannya, S/B.

Berikut ini adalah contoh negasi :

p : Palembang adalah ibukota propinsi Sumatera Selatan.

~p : Tidak benar Palembang adalah ibukota propinsi Sumatera    Selatan.

atau

Palembang bukan ibukota propinsi Sumatera Selatan.

Di sini ~p salah karena p benar.

Tabel Kebenaran Dari Negasi :

p	~p
B	S
S	B

Konjungsi:

Konjungsi p dan q dinyatakan dengan, pΛq, adalah sebuah proposisi yang bernilai benar jika proposisi p dan q keduanya bernilai benar.

Berikut ini adalah contoh konjungsi :

p : Hari ini hari Sabtu.

q : Matahari bersinar cerah.

pΛq : Hari ini hari Sabtu dan matahari berinar cerah.

Tabel Kebenaran Dari Konjungsi :

p	q	p Λ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Disjungsi:

Disjungsi p dan q dinyatakan dengan, p vq, adalah proposisi yang bernilai salah jika proposisi p dan q keduanya bernilai salah.

Berikut ini adalah contoh disjungsi :

p : Hari ini hari Sabtu.

q : Matahari bersinar cerah.

p vq : Hari ini hari Sabtu atau matahari berinar cerah.

Tabel Kebenaran Dari Disjungsi :

p	q	p v q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

3. Hukum-hukum Logika Proposisi

Dalam logika proposisi terdapat beberapa hukum atau sifat operasinya,yakni:

1. Hukum Identitas

(i)  p  v   F  ↔ p

(ii) p  Λ   T  ↔ p

2. Hukum null/Dominasi

(i) p  Λ   F  ↔  F

(ii) p  v  T  ↔  T

3. Hukum Negasi

(i)  p  v  ~p  ↔ T

(ii) p  Λ   ~p  ↔ F

4. Hukum idempoten

(i)  p  v  p  ↔ p

(ii) p  Λ   p   ↔ p

5. Hukum Involusi(negasi ganda)

(i)  ~ (~p)  ↔ p

6. Hukum Penyerapan (absorpsi)

(i)  p  v  (p Λ q) ↔ p

(ii) p  Λ  (p v q) ↔ p

7. Hukum komutatif

(i)  p  v  q  ↔ q  v  p

(ii) p  Λ  q   ↔ q Λ  p

8. Hukum assosiatif

(i)  p v (q v r) ↔ (p v q) v r

(ii) p Λ (q Λ r ) ↔ (p Λ q)  Λ  r

9. Hukum Distributif

(i)  p v (q Λ r) ↔ (p v q) Λ (p v r)

(ii) p Λ (q v r ) ↔ (p Λ q)  v  (p Λ r)

10. Hukum De Morgan

(i)  ~(p Λ q) ↔ ~p v ~q

(ii) ~(p v q) ↔ ~p Λ ~q

4. Tabel Kebenaran

Sebenarnya tabel kebenaran ini sudah saya bahas di atas. Pada bagian ini saya hanya ingin mengulangnya dan menjadikannya menjadi satu agar mudah untuk dibaca dan dipahami.

P	q	~p	p Λ q	p v q
B	B	S	B	B
B	S	S	S	B
S	B	B	S	B
S	S	B	S	S

Logika proposisi tidak bisa menggambarkan sebagian besar proposisi dalam matematika dan ilmu komputer. Sebagai ilustrasi, perhatikan pernyataan berikut:

p : n adalah bilangan ganjil.

Pernyataan p bukan sebuah proposisi karena nilai kebenaran p bergantung pada nilai kebenaran n. Sebagai contoh, p benar jika n=103 dan salah jika n=8. Karena kebanyakan pernyataan dalam matematika dan ilmu komputer menggunakan peubah(variabel), maka kita harus mengembangkan sistem logika yang mencakup pernyataan tersebut.

http://xsan.brothers.blog.unsoed.ac.id/2011/09/18/matematika-distrik/

TAUTOLOGI
Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar.
contoh pernyataan tautologi adalah:
(p ʌ q) => q
untuk membuktikan pernyataan diatas adalah tautologi, simak tabel kebenaran untuk tautologi
(p ʌ q) => q berikut;

contoh tabel kebenaran tautologi

contoh lain pernyataan tautologi adalah:
a. ((p => q) ʌ (r => q)) => ((p v r) =>q
b. (p ʌ  ~q) => p


KONTRADIKSI
Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah.
contoh pernyataan kontradiksi:
p ʌ (~p ʌ q)
tabel kebenaran pernyataan kontradiksi  p ʌ (~p ʌ q):

Contoh tabel kebenaran kontradiksi

contoh lain pernyataan kontradiksi adalah:
a. (p ʌ ~p)


EKUIVALEN
Ekuivalen adalah dua atau lebih pernyataan majemuk  yang memiliki nilai kebenaran yang sama.
Contoh ekuivalen:
~(p v q) ≡ ~p ʌ ~q
tabel kebenaran pernyataan ekuivalen ~(p v q) ≡ ~p ʌ ~q:

Contoh tabel kebenaran ekuivalen

Hukum-hukum ekuivalen:
a. Hukum Komutatif
    p ʌ q ≡  q ʌ p
    p v q ≡ q v p

b. Hukum Distributif
    p ʌ (q v r) ≡ (p ʌ q) v (p ʌ r)
    p v (q ʌ r) ≡ (p v q) ʌ (p v r)

c. Hukum Asosiatif
    (p ʌ q) ʌ r ≡ p ʌ (q ʌ r)
    (p v q) v r ≡  p v (q v r)

d. Hukum Identitas
    p ʌ T ≡  p
    p v F ≡  p

e. Hukum Dominasi / Ikatan

    p v T ≡ T

    p v F ≡ F

f.  Hukum Negasi
    p v ~p ≡  T 
    p ʌ ~p ≡ F

g. Hukum Involusi / Negasi Ganda
    ~(~p) ≡  p

h. Hukum Idempoten
    p ʌ p ≡ p
    p v p ≡ p

i.  Hukum De Morgan
    ~( p ʌ q ) ≡  ~p v ~q
    ~( p v q ) ≡ ~p ʌ ~q

j.  Hukum Absorbsi / Penyerapan
    p v (p ʌ q) ≡  p
    p ʌ (p v q) ≡ p

k. Hukum True dan False
    ~T ≡  F
    ~F ≡ T

http://hyperpost.blogspot.com/2014/10/logika-informatika-tentang-tautologi.html

  Hukum-Hukum Aljabar Proposisi

Setiap proposisi yang saling ekivalen dapat dipertukarkan atau diganti antara satu dengan yang lainnya. Hukum-hukum aljabar Proposisi adalah sebagai berikut:

a.       Hukum Idempoten (Idem)

• p∨p ek p
• p∧p ek p

b.      Hukum Asosiatif (As)

• (p∨q)∨r ek p∨(q∨r)
• (p∧q)∧r ek p∧(q∧r)

c.       Hukum  Komutatif (Kom)

• p∨q ek q∨p
• p∧q ek q∧p

d.      Hukum Distributif (Dist)

• p∨(q∧r) ek (p∨q)∧(p∨r)
• p∧(q∨r) ek (p∧q)∨(p∧r)

e.       Hukum Identitas (Id)

• p∨F ek p
• p∨T ek T
• p∧F ek F
• p∧T ek p

f.       Hukum Komplemen (Komp)

• p∨∼p ek T
• p∧∼p ek F
• ∼(∼p) ek p
• ∼T ek F

g.      Hukum Transposisi (Trans)

·         p⇒q ek ∼q⇒∼p

h.      Hukum Implikasi (Imp)

·         p⇒q ek ∼p∨q

i.        Hukum Ekivalensi (Eki)

• p⇔q ek (p⇒q)∧(q⇒p)
• p⇔q ek (p∧q)∨(∼q∧∼p)

j.        Hukum Eksportasi (Eksp)

·         (p∧q)⇒r ek p⇒(q⇒r)

k.      Hukum De Morgan (DM)

• ∼(p∨q) ek ∼p∧∼q
• ∼(p∧q) ek ∼p∨∼q

2.     Pembuktian Hukum-Hukum Aljabar Proposisi

a.       Hukum Idempoten (Idem)

• p v q ek p
• p ∧ p ek p

P	Q	p v q	p ^ q
B	B	B	B
B	S	B	S
S	B	B	S
S	S	S	S

b.      Hukum Asosiatif (As)

• (p∨q)∨r ek p∨(q∨r)

p	Q	r	Pvq	Qvr	pv(qvr)	(pvq)vr
B	B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	B	B	B
B	S	B	B	B	B	B
B	S	S	B	S	B	B
S	B	B	B	B	B	B
S	B	S	B	B	B	B
S	S	B	S	B	B	B
S	S	S	S	S	S	S

• (p∧q)∧r ek p∧(q∧r)

p	Q	r	p^q	q^r	p^ (q^r)	(p^q) ^r
B	B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	S	S	S
B	S	B	S	S	S	S
B	S	S	S	S	S	S
S	B	B	S	B	S	S
S	B	S	S	S	S	S
S	S	B	S	S	S	S
S	S	S	S	S	S	S

c.       Hukum  Komutatif (Kom)

• p∨q ek q∨p
• p∧q ek q∧p

p	q	p v q	qvp	p ^ q	q ^ p
B	B	B	B	B	B
B	S	B	B	S	S
S	B	B	B	S	S
S	S	S	S	S	S

d.      Hukum Distributif (Dist)

• p∨(q∧r) ek (p∨q)∧(p∨r)

p	q	R	pvq	pvr	q^r	pv(q^r)	(pvq) ^ (pvr)
B	B	B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	B	S	B	B
B	S	B	B	B	S	B	B
B	S	S	B	B	S	B	B
S	B	B	B	B	B	B	B
S	B	S	B	S	S	S	S
S	S	B	S	B	S	S	S
S	S	S	S	S	S	S	S

• p∧(q∨r) ek (p∧q)∨(p∧r)

P	q	R	p^q	p^r	qvr	p^ (qvr)	(p^q) v (p^r)
B	B	B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	S	B	B	B
B	S	B	S	B	B	B	B
B	S	S	S	S	S	S	S
S	B	B	S	S	B	S	S
S	B	S	S	S	B	S	S
S	S	B	S	S	B	S	S
S	S	S	S	S	S	S	S

e.       Hukum Identitas (Id)

• p∨F ek p
• p∨T ek T
• p∧F ek F
• p∧T ek p

 

p	S	B	p v S	p v B	p ^ S	p ^ B
B	S	B	B	B	S	B
S	S	B	S	B	S	S

f.       Hukum Komplemen (Komp)

• p∨∼p ek B
• p∧∼p ek S
• ∼(∼p) ek p
• ∼B ek S

p	~ p	~(~ p)	B	~B	S	p v ~p	p ^ ~p
B	S	B	B	S	S	B	S
S	B	S	B	S	S	B	S

g.      Hukum Transposisi (Trans)

·         p→q ek ∼q→∼p

p	Q	~ q	~ p	p → q	~q → ~p
B	B	S	S	B	B
B	S	B	S	S	S
S	B	S	B	B	B
S	S	B	B	B	B

h.      Hukum Implikasi (Imp)

·         p→q ek ∼p∨q

p	Q	~ p	p → q	~p v q
B	B	S	B	B
B	S	S	S	S
S	B	B	B	B
S	S	B	B	B

i.        Hukum Ekivalensi (Eki)

• p⇔q ek (p⇒q)∧(q⇒p)

p	q	p⇔q	(p⇒q)	(q⇒p)	(p⇒q)∧(q⇒p)
B	B	B	B	B	B
B	S	S	S	B	S
S	B	S	B	S	S
S	S	B	B	B	B

• p⇔q ek (p∧q)∨(∼q∧∼p)

P	q	∼q	∼p	p⇔q	(p∧q)	(∼q∧∼p)	(p∧q)∨(∼q∧∼p)
B	B	S	S	B	B	S	B
B	S	B	S	S	S	S	S
S	B	S	B	S	S	S	S
S	S	B	B	B	S	B	B

j.        Hukum Eksportasi (Eksp)

·         (p∧q)⇒r ek p⇒(q⇒r)

P	q	r	(p∧q)	(p∧q)⇒r	(q⇒r)	p⇒(q⇒r)
B	B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	S	S	S
B	S	B	S	B	B	B
B	S	S	S	B	B	B
S	B	B	S	B	B	B
S	B	S	S	B	S	B
S	S	B	S	B	B	B
S	S	S	S	B	B	B

k.      Hukum De Morgan (DM)

• ∼(p∨q) ek ∼p∧∼q

p	q	∼q	∼p	(p∨q)	∼(p∨q)	∼p∧∼q
B	B	S	S	B	S	S
B	S	B	S	S	B	B
S	B	S	B	S	B	B
S	S	B	B	S	B	B

• ∼(p∧q) ek ∼p∨∼q

P	q	∼q	∼p	(p∧q)	∼(p∧q)	∼p∨∼q
B	B	S	S	B	S	S
B	S	B	S	S	B	B
S	B	S	B	S	B	B
S	S	B	B	S	B	B

http://nurhavida.blogspot.com/2013/04/makalah-hukum-hukum-aljabar-proposisi.html

►IMPLIKASI LOGIk

Implikasi logik adalah sebuah tautologi yang memuat pernyataan implikasi.
Jika p implikasi logis q tautologi,maka p impilkasi q selalu bernilai benar untuk semua nilai p dan q yang mungkin.
P implikasi q digunakan apabila pernyataan p selalu mengimplikasi pernyataan q tanpa memperhatikan nilai dari variable-variabel penyusunnya.

Contoh :

Buktikan bahwa [ ( p → q ) ˄ p ] → p merupakan implikasi logik

p q ( p → q ) [ ( p → q ) ˄ p ] [ ( p → q ) ˄ p ] → p
B B B B B
B S S S B
S B B S B
S S B S B

DAFTAR PUSTAKA

Drs.Karso.1986.Logika Elementer. Universitas Terbuka Jakarta : Penerbit Karunia Jakarta.
http://www.scribd.com/doc/11830340/Ringkasan-logika-matematika.
sutanto.staff.uns.ac.id/files/2009/10/Logika-himpunan.pdf.

FUNGSI PROPOSISI DAN HIMPUNAN KEBENARAN

 Misalkan P(x) merupakan sebuah pernyataan yang mengandung variabel x dan D adalah sebuah himpunan (sembarang kumpulan obyek). Kita menyebut P sebuah fungsi proposisi (dalam D) jika untuk setiap x di D, P(x) adalah proposisi.

Contoh :

1. Misalkan P(n) adalah pernyataan, n adalah bilangan ganjil dan D adalah himpunan bilangan bulat positif. Maka P adalah fungsi proposisi dengan daerah asal pembicaraan D karena untuk setiap n di D, P(n) adalah proposisi (yakni, untuk setiap n di D, P(n) bisa bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya). Jika n=1, dapat diperoleh proposisi. 1 adalah bilangan ganjil bernilai benar. Jika n=2, diperoleh proposisi 2 adalah bilangan ganjil bernilai salah.

2. Fungsi proposisi “x+2>7” yang didefinisikan pada N, yakni himpunan bilangan asli. Maka {x | x Î N, x+2>7} = {6,7,8,…}adalah himpunan kebenarannya.

Tabel Kebenaran
Tabel kebenaran adalah daftar lengkap dari semua nilai kebenaran yang mungkin dari suatu pernyataan.
Berikut daftar tabel kebenarannya.

Tabel Kebenaran Negasi

Negasi berarti menyangkal kebenaran suatu pernyataan. tabel kebenaran negasi dapat dilihat dibawah ini.
Cara membacanya “Jika p adalah benar, maka negasinya adalah salah”.

Tabel Kebenaran Konjungsi

Dalam tabel kebenaran konjungsi suatu pernyataan bernilai benar jika keduanya benar. tabel selengkapnya bisa dilihat dibawah ini.
Cara membacanya “Jika p adalah benar dan q adalah salah, maka salah”.

Tabel Kebenaran Disjungsi

Dalam tabel kebenaran disjungsi suatu pernyataan bernilai salah jika keduanya bernialai salah.
Cara membacanya “Jika p adalah benar atau q adalah salah, maka benar”.

Tabel Kebenaran Implikasi

p ⇒ q bernilai salah, jika p benar dan q salah. selain ini benar semua.
Tabel kebenaran implikasi bisa dilihat sendiri pada tabel berikut.
Cara membacanya “Jika p adalah benar maka q adalah salah, hasilnya salah”.

Tabel Kebenaran Biimplikasi

Biimplikasi bernilai benar jika keduanya bernilai salah atau benar.
Pemahaman lebih lanjut bisa melihat tabel berikut.

Tabel Kebenaran Invers

Invers dengan rumus -p -> (-q) adalah semacam kebalikan dari Implikasi.
Lengkapnya bisa melihat tabel berikut.

Tabel Kebenaran Kontrapositif

Kontrapositif dengan rumus -q -> (-p) adalah hasilnya sama dengan Implikasi, bedanya rumusnya adalah terbalik dan semuanya negatif.
Lengkapnya bisa melihat tabel berikut.


Source:
http://dedekyohana93.blogspot.com/2012/11/tautologi-kontradiksi-dan-ekuivalensi_4667.html
http://www.aaezha.com/2012/11/tabel-kebenaran-negasi-konjungsi-disjungsi-implikasi-dan-biimplikasi.html
http://www.google.co.id/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&cad=rja&uact=8&ved=0CCEQFjAB&url=http%3A%2F%2Famelafrianti.staff.gunadarma.ac.id%2FDownloads%2Ffiles%2F30917%2Fimplikasi%2Blogika.docx&ei=sMCuU57NHIXikAX814AY&usg=AFQjCNHCtG4mDUtu0iQdnOUFbUPDJE6Grg&sig2=2gXWAmlg_cbS1cw-iJy4FQ&bvm=bv.69837884,d.dGI

A. Pengukur Jumlah Universal

Misalkan A sebuah penyataan, dan x menyatakan suatu variabel. Jika kita ingin menunjukkan bahwa A bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai x, kita tuliskan ∀xA. ∀x disebut pengukur jumlah universal (universal quantifier), dan A dikatakan sebagai ruang lingkup (scope) dari pengukur jumlah tersebut. Variabel x dikatakan menjadi variabel terbatas (bound) dari pengukur jumlah tersebut. Simbol ∀ dibaca “Untuk semua”.

Untuk pernyataan “Semua kucing punya ekor” dapat kita nyatakan dalam kalkulus predikat sebagai :

∀x (Kucing(x)⇒PunyaEkor(x))

http://jessioimeliojordy.blogspot.com/2014/10/sap-6-matematika-sistem-informasi-1.html

Negasi (Ingkaran) Logika Matematika Implikasi

Oktober 23, 2009 · by Paman APiQ · in APIQ, inovasi pembelajaran matematika. ·

Negasi sering kita terjemahkan menjadi ingkaran.
Negasi dari n = 3 adalah n tidak = 3.
Negasi dari dia benar adalah dia tidak benar.
Negasi dari saya lapar adalah saya tidak lapar.
Bagaimana dengan negasi suatu implikasi?
JIKA Rano bekerja MAKA Rano mendapat gaji.
Bagaimana menurut Anda?
Orang pada umumnya mengira negasi dari pernyataan implikasi di atas adalah:
JIKA Rano tidak bekerja MAKA Rano tidak mendapat gaji.
Bukan. Pernyataan di atas bukanlah negasinya. Beberapa alternatif yang lain adalah:
JIKA Rano bekerja MAKA Rano tidak mendapat gaji.
JIKA Rano tidak mendapat gaji MAKA Rano tidak bekerja.
Pernyataan di atas masih bukan negasinya.
Negasi yang tepat adalah:
Rano bekerja DAN Rano tidak mendapat gaji.
Atau:
Rano bekerja TAPI Rano tidak mendapat gaji.
(DAN = TAPI).
JIKA segitiga sama sisi MAKA besar jumlah ketiga sudutnya adalah 180 derajat.
Negasinya:
Segitiga sama sisi TETAPI besar jumlah ketiga sudutnya adalah tidak 180 derajat.
Jadi,
negasi dari p ==> q adalah p DAN ~q

https://apiqquantum.com/2009/10/23/negasi-ingkaran-logika-matematika-implikasi/

Contoh Surat Niaga (Surat Balasan & Surat Penawaran)

PT. PERWIRA USAHA

Jl. Cemara 37 Karangsari, Kebumen 54351, Telp & Fax (0287) 381132

http : //www.perwirausaha.sch.id  E-mail : info@perwirausaha.sch.id

Kebumen, 2 April 2015

Nomor : 177/PM/III/2015

Kepada

PT. KARYAN USAHA MANDIRIA

Jl. Cokroaminoto 104

Surabaya 60292

Hal : Balasan Penawaran Laptop

Dengan hormat,

Mengenai surat yang dikirimkan oleh PT. KARYA USAHA MANDIRI pada tanggal 20 Maret 2015 tentang penawaran Laptop. Kami sangat tertarik dengan penawaran saudara karena untuk menunjang pekerjaan agar lebih efektif dan efisien maka dibutuhkan sebuah laptop yang dapat mencakup semua pekerjaan seperti laptop merk CANGGIH dengan tipe Intel Pentium Core i7 yang saudara tawarkan.

Oleh karena itu, kami meminta saudara untuk mengirimkan produk yang anda tawarkan yaitu laptop merk CANGGIH kepada kami, dengan jumlah 20 biji. Untuk pembayarannya kami akan langsung mengirimkan sesuaai harga yang anda sebutkan setelah barang sampai.

Atas perhatian Bapak kami sampaikan terima kasih.

Hormat kami,

Feby Ayu Pratiwi

Kepala Defisi Umum.

PT. PERWIRA USAHA

Jl. Cemara 37 Karangsari, Kebumen 54341, Telp & Fax (0287) 381132

http : //www.perwirausaha.sch.id  E-mail : info@perwirausaha.sch.id

Kebumen, 2 April 2015

Nomor : 119/PM/III/2015

Kepada

PT. WIRA KARYA EXPRESS

Jl. Embong Malang III/99

Surabaya 60275

Hal : Penawaran Digital Scanner Printer

Dengan hormat,

Hasil pencetakan yang bagus dan berkualitas sangat dibutuhkan, untuk itu kami ingin menawarkan kepada saudara Digital Scanner Printer yang terbaru,Printer All In One / Multifuntion,dengan harga murah dan bekerja dengan maksimal dan tersedia berbagai merk.

Merk yang kami tawarkan diantaranya ;

1.      Printer merk Hp Officejet Pro 6830 e-all-in-one dengan harga Rp. 2.480.000

2.      Printer merk Epson Printer (M 200) dengan harga Rp. 2.436.000

3.      Printer Canon Pixma (MG 6470) White dengan harga Rp. 2.119.000

Pemesanan s.d akhir bulan ini mendapat potongan harga 2%. Pembayaraan uang muka minimal 25% dari harga pesanan,sisanya 2 minggu setelah barang diterima.

Kami berharap saudara tertarik denga penawaran ini dan masa promosi dari penawaran ini sampai dengan tanggal 30 april 2015.

Atas perhatian Bapak kami sampaikan terima kasih.

Hormat kami,

Feby Ayu Pratiwi

Kepala Devisi Umum.

http://febyayupratiwii179.blogspot.com/2015/04/contoh-surat-niaga-surat-balasan-surat.html